“最终有”是描述极限的好词

我们通常用算术化的语言来严格定义数列极限的概念：

设有数列 $\{a_n\}$，如果存在实数 $\alpha$，对任意的正数 $\varepsilon$，存在自然数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $|a_n - \alpha| < \varepsilon$，则称 $\alpha$ 是 $\{a_n\}$ 的极限。

对于分析学的初学者而言，这是有点儿“拗口”的表述；脑子里的思路需要转几个弯才能理解其精髓。

可以看到，此定义中只关心 $n > N$ 之后的数列的表现；也就是说，数列极限与数列的前有限项都无关。数列极限涉及的是数列“最终的”性质。在某些情况下，如果我们不需要精确知道 $N$，用一个模糊的“最终有”代替“存在自然数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有”反而可以使表述更加简洁：

设有数列 $\{a_n\}$，如果存在实数 $\alpha$，对任意的正数 $\varepsilon$，最终有 $|a_n - \alpha| < \varepsilon$，则称 $\alpha$ 是 $\{a_n\}$ 的极限。

当然，“最终有”的最佳用法不是将原有的严格的数列极限的定义模糊化，而是在实例中验证数列极限时，可能会使表述更加简洁。

若 $a_n \to \alpha, b_n \to \beta$，则 $a_n + b_n \to \alpha + \beta$。

我们先来看看，如果坚持“学究式的”表述，这个定理的证明该有多么冗长、迂回：

因为 $a_n \to \alpha, b_n \to \beta$，所以对任意的正数 $\varepsilon$，存在自然数 $N_1,N_2$，使得当 $n > N_1$ 时，有 $|a_n - \alpha| < \varepsilon$；当 $n > N_2$ 时，有 $|b_n - \beta| < \varepsilon$。令 $N = \max\{N_1,N_2\}$，则当 $n > N$ 时，有

\[|(a_n + b_n) - (\alpha + \beta)| = |(a_n - \alpha) + (b_n - \beta)| \leq |a_n - \alpha| + |b_n - \beta| < 2\varepsilon\]

不等式右边可任意小，因此 $|(a_n + b_n) - (\alpha + \beta)|$ 也可任意小，即 $a_n + b_n \to \alpha + \beta$。$\square$

再来看看如何用“最终有”的语言使证明变得简洁：

因为 $a_n \to \alpha, b_n \to \beta$，所以对任意的正数 $\varepsilon$，最终有 $|a_n - \alpha| < \varepsilon$，$|b_n - \beta| < \varepsilon$。于是最终有

\[|(a_n + b_n) - (\alpha + \beta)| = |(a_n - \alpha) + (b_n - \beta)| \leq |a_n - \alpha| + |b_n - \beta| < 2\varepsilon\]

不等式右边可任意小，因此 $|(a_n + b_n) - (\alpha + \beta)|$ 也可任意小，即 $a_n + b_n \to \alpha + \beta$。$\square$

可以看到，“最终有”将一系列涉及到自然数 $N$ 的运算过程省略了；对于已经熟悉这部分性质的人而言，看到“最终有”这个词就应当能很快地在脑海中复现这一运算过程。这就是“最终有”能使涉及数列极限的表述更简洁的原因。

对于函数极限，也是同样的道理。

设有函数 $f(x)$，如果存在实数 $\alpha$，对任意的正数 $\varepsilon$，存在正数 $\delta$，使得当 $|x - x_0| < \delta$ 时，有 $|f(x) - \alpha| < \varepsilon$，则称 $\alpha$ 是 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的极限。

只要将“最终”理解为在 $x_0$ 的充分小的领域内即可简化表述。