读小平邦彦的《微积分入门》（修订版）
读小平邦彦的《微积分入门》（修订版）
《微积分入门》是小平邦彦（1915–1997）晚年创作的一部微积分教材。其原著名为《解析入門》，翻译为《微积分入门》估计是为了顺应国内的称呼。
微积分，或者数学分析，是高等数学的大门，是物理学的基础。我在三十多岁选择复习微积分，是为了重新回到数理世界，回到我曾经为之努力过又中途放弃的事业。我不知道以如此“高龄”再一次以学生的身份踏入这条道路最终能走向何方，但我愿意走一步看一步。这一次不再离开。
我之所以选择小平邦彦的这本书作为我这趟旅途的指南，有以下原因：
- 这本书被评价为“表述精炼，内容丰富”。
我有限的余生似乎并不允许我再去读一部大部头，但我也不想读一本精简、干瘪的入门读物。 - 这本书在某些问题的处理上具有相当的独创性。
我对微积分的基础内容是熟悉的，如果再去读一本以传统的方式讲解微积分的书，肯定会感到枯燥。 - 这本书的作者是数学大师。
小平邦彦是代数几何方面的大师，是为数不多的既得过菲尔茨奖又得过沃尔夫奖的数学家之一。我依稀记得不知道从哪里看到一句箴言：“向大师学习，而不是向大师的门徒学习。”直接向大师学习，可以领会到大师的某些原创性的东西。
前言笔记
小平这本书的参考蓝本是高木贞治的《解析概論》和藤原松三郎的《微分積分学》。前者有中译本《数学分析概论》，值得一读。后者尚无中译本。
小平在这篇前言中提到了书中各章的某些独创的地方，在后面的阅读过程中应当注意：
- 第 2 章，从角度可以表示为平面的旋转的量这一观点出发，用指数函数 $e^{i\theta}$ 作为媒介定义三角函数。
- 第 4 章，关于单变量函数的积分，被积函数只限定在至多有有限个不连续点的情况，而闭区间上具有不连续点的函数的积分都作为广义积分来处理。
- 第 5 章，介绍了一致有界函数列的 Arzelà 逐项积分定理及由 Hausdorff 给出的初等证明。“这个定理自 Lebesgue 逐项积分定理的出现而被遗忘，但在应用上非常有用。”
- 第 6 章，使用积分记号，从 Arzelà 定理导出微积分定理。
- 第 7 章，首先在矩形上定义连续函数的积分，然后用平面上的任意邻域上的连续函数的积分定义广义积分。“从广义积分限定在被积函数是连续函数这一点来说，它比传统的黎曼积分要狭窄，但从它适用于任意邻域这一点来说，又比黎曼积分宽广。”
本书在坚持严格性的同时，强调数学并不仅仅是逻辑游戏：
现代数学受形式主义的影响很深，强调数学是公理化构成的论证体系。但我以为，正如物理学是描述物理现象⼀样，数学是描述客观存在的数学现象。因此为了理解数学，明确把握数学现象的直观是⾮常重要的。
各章笔记
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